Συνεχής λειτουργία

Μια συνεχής λειτουργία είναι μια λειτουργίαχωρίς "άλματα", δηλαδή, για τα οποία ικανοποιείται η συνθήκη: μικρές αλλαγές στο επιχείρημα ακολουθούνται από μικρές αλλαγές στις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης. Το γράφημα μιας τέτοιας λειτουργίας είναι μια ομαλή ή συνεχής καμπύλη.

Συνέχεια στο σημείο, το όριο για μερικούςσύνολα μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια της έννοιας ενός ορίου, δηλαδή: μια συνάρτηση πρέπει να έχει ένα όριο σε αυτό το σημείο, το οποίο είναι ίσο με την αξία του στο οριακό σημείο.

Εάν οι συνθήκες αυτές παραβιαστούν σε κάποιο σημείο,λέμε ότι μια συνάρτηση σε ένα δεδομένο σημείο υποφέρει από ασυνέχεια, δηλαδή, παραβιάζεται η συνέχεια της. Στη γλώσσα των ορίων, το σημείο ασυνέπειας μπορεί να περιγραφεί ως αναντιστοιχία της αξίας μιας συνάρτησης σε ένα ασυνεχές σημείο με το όριο μιας συνάρτησης (εάν υπάρχει).

Το σημείο ασυνέχειας μπορεί να εξαλειφθεί, γι 'αυτόΕίναι απαραίτητο να έχουμε το όριο μιας συνάρτησης, αλλά δεν συμπίπτει με την αξία της σε ένα δεδομένο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να "διορθωθεί" σε αυτό το σημείο, δηλαδή, μπορεί να επεκταθεί στη συνέχεια.
Μια εντελώς διαφορετική εικόνα σχηματίζεται αν δεν υπάρχει το όριο της λειτουργίας σε ένα δεδομένο σημείο. Υπάρχουν δύο πιθανές παραλλαγές των σημείων θραύσης:

• του πρώτου είδους - και τα δύο μονομερή όρια υπάρχουν και είναι πεπερασμένα και η αξία ενός από αυτά ή και των δύο δεν συμπίπτει με την αξία της λειτουργίας σε ένα δεδομένο σημείο.
• δεύτερο είδος, όταν ένα ή και τα δύο μονομερή όρια δεν υπάρχουν ή οι αξίες τους είναι άπειρες.

Ιδιότητες των συνεχών λειτουργιών

• Η λειτουργία που λαμβάνεται στο αποτέλεσμα των αριθμητικών πράξεων, καθώς και η υπέρθεση συνεχών λειτουργιών στον τομέα ορισμού τους, είναι επίσης συνεχής.
• Εάν δοθεί μια συνεχής λειτουργία που είναι θετική σε κάποιο σημείο, τότε είναι πάντα δυνατό να βρεθεί μια επαρκώς μικρή γειτονιά στην οποία να διατηρεί το σημάδι της.
• Ομοίως, αν οι τιμές του σε δύο σημεία Α και Βείναι αντίστοιχα a και b, και a είναι διαφορετικό από το b, τότε για τα ενδιάμεσα σημεία παίρνει όλες τις τιμές από το διάστημα (a; b). Από εδώ μπορούμε να καταλήξουμε σε ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα: εάν δώσουμε μια τεντωμένη ταινία από καουτσούκ για να συρρικνωθεί έτσι ώστε να μην πέσει (παραμένει ευθεία), τότε ένα από τα σημεία της θα παραμείνει σταθερό. Και γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο μεταξύ Α και Β που τέμνει τη γραφική παράσταση της λειτουργίας.

Παρατηρούμε κάποιες από τις στοιχειώδεις λειτουργίες (στο πεδίο της οριοθέτησής τους):

• σταθερή.
• λογική ·
• τριγωνομετρική.

Μεταξύ δύο θεμελιωδών εννοιών στομαθηματικά - συνέχεια και διαφοροποίηση - υπάρχει μια άρρητη σύνδεση. Αρκεί μόνο να υπενθυμίσουμε ότι για την διαφοροποίηση μιας συνάρτησης είναι απαραίτητο αυτό να είναι μια συνεχής λειτουργία.

Εάν η λειτουργία είναι διαφοροποιήσιμη σε κάποιο σημείο, τότε είναι συνεχής. Ωστόσο, δεν είναι απαραίτητο ούτε το παράγωγο του να είναι συνεχές.

Μια συνάρτηση που έχει σε κάποιο σετσυνεχές παράγωγο, ανήκει σε μια ξεχωριστή κατηγορία ομαλών λειτουργιών. Με άλλα λόγια, αυτή είναι μια συνεχώς διαφοροποιήσιμη λειτουργία. Αν το παράγωγο έχει έναν περιορισμένο αριθμό σημείων διάλειμμα (μόνο του πρώτου είδους), τότε μια παρόμοια λειτουργία ονομάζεται κομμάτι ομαλή.

Μια άλλη σημαντική έννοια της μαθηματικής ανάλυσηςείναι η ομοιόμορφη συνέχεια της λειτουργίας, δηλαδή η ικανότητά της να είναι εξίσου συνεχής σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της. Επομένως, αυτή η ιδιότητα θεωρείται στο σύνολο των σημείων, και όχι σε κανένα που λαμβάνεται χωριστά.

Εάν διορθώσετε το σημείο, δεν θα το πάρετε αυτόΆλλο, καθώς ο ορισμός της συνέχειας, δηλαδή η ύπαρξη ομοιόμορφης συνέχειας, σημαίνει ότι έχουμε μια συνεχή λειτουργία μπροστά μας. Σε γενικές γραμμές, το αντίστροφο δεν είναι αλήθεια. Ωστόσο, σύμφωνα με το θεώρημα του Cantor, αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα compactum, δηλαδή, σε ένα κλειστό διάστημα, τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής πάνω σε αυτό.